2020학년도 6월 모의평가 수학 영역 가형 28번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{P}$가 있다. 중심이 $\mathrm{A}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AP}}$인 원과 선분 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{Q}$라 하자.

호 $\mathrm{PB}$ 위에 점 $\mathrm{R}$를 호 $\mathrm{PR}$와 호 $\mathrm{RB}$의 길이의 비가 $3:7$이 되도록 잡는다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 할 때, 선분 $\mathrm{OR}$와 호 $\mathrm{PQ}$의 교점을 $\mathrm{T}$, 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자.

세 선분 $\mathrm{PH}$, $\mathrm{HO}$, $\mathrm{OT}$와 호 $\mathrm{TP}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 두 선분 $\mathrm{RT}$, $\mathrm{QB}$와 두 호 $\mathrm{TQ}$, $\mathrm{BR}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라 하자. $\angle\mathrm{PAB}=\theta$라 할 때,

$\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\frac{S_1-S_2}{\overline{\mathrm{OH}}}=a$이다. $50a$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac\pi4$) [4점]