2014학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 30번

한 변의 길이가 $4$인 정육면체 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$와 밑면의 반지름의 길이가 $\sqrt2$이고 높이가 $2$인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 $\mathrm{ABCD}$에 포함되고 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 $\mathrm{ABCD}$에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 $\alpha$, 다른 밑면을 $\beta$라 하자.

평면 $\mathrm{AEGC}$가 밑면 $\alpha$와 만나서 생기는 선분을 $\overline{\mathrm{MN}}$, 평면 $\mathrm{BFHD}$가 밑면 $\beta$와 만나서 생기는 선분을 $\overline{\mathrm{PQ}}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{MPQ}$의 평면 $\mathrm{DEG}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac ba\sqrt3$이다. $a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 서로소인 자연수이다.) [4점]