2008학년도 대학수학능력시험 수리 영역 나형 17번

아래와 같이 가로의 길이가 $6$이고 세로의 길이가 $8$인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 $\dfrac13$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 직사각형의 각 꼭지점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 $4$개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 $\dfrac13$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 있는 합동인 $4$개의 직사각형 각각에서 각 꼭지점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 $4$개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 $\dfrac13$을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? (단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행하다.) [4점]