밤띠 5기출문제

2015학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=1$ 이고

\frac{a_{n+1}}{n+2}=\frac{a_n}{n}+\frac12\quad(n\ge1)\quad\cdots\text{\char"3260}

을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_n=(1+2+3+\cdots+n)\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right)\quad\cdots\text{\char"3261}

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때,

(좌변) $=a_1=1$ , (우변) $=1\times1=1$

따라서 ㉡이 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면

a_k=(1+2+3+\cdots+k)\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1k\right)

이다. ㉠에서

a_{k+1}=\boxed{\text{(가)}}\,a_k+\frac{k+2}2

=\boxed{\text{(가)}}\,(1+2+3+\cdots+k)\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1k\right)+\frac{k+2}2

=\boxed{\text{(나)}}\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1k\right)+\frac{k+2}2

=\{1+2+3+\cdots+(k+1)\}\left\{1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{k+1}\right\}

이다.

따라서 $n=k+1$ 일 때도 ㉡이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 ㉡이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k)$ , $g(k)$ 라 할 때, $f(10)\times g(9)$ 의 값은? [4점]

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