2016학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 20번

한 변의 길이가 8인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+4\sqrt3$인 직육면체 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에 $\angle\mathrm{EPF}=90^{\circ}$인 삼각기둥 $\mathrm{EFP}-\mathrm{HGQ}$가 놓여있고 그 위에 구를 삼각기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 $\mathrm{ABCD}$와 직육면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 $\mathrm{PFGQ}$, $\mathrm{EPQH}$에 생기는 구의 그림자의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2\ (S_1>S_2)$라 하자. $S_1+\frac1{\sqrt3}S_2$의 값은? [4점]