기본 단항식과 열매

세 문자 $x,\,y,\,z$에 대한 계수가 $1$인 단항식 $x^{\ell}y^mz^k$를 기본 단항식이라 하고, 이 기본 단항식의 차수를 $\ell+m+k$라 하자. 단, $\ell,\,m,\,k$는 음이 아닌 정수이다.

세 다항식 $p_1,\,p_2,\,p_3$에 대하여 세 문자 $x,\,y,\,z$에 대한 다항식 $q_1,\,q_2,\,q_3$이 존재하여

을 만족시키는 기본 단항식 $r$을 $p_1,\,p_2,\,p_3$의 열매라 하자.

세 다항식

에 대하여 차수가 $n$인 기본 단항식 중 $p_1,\,p_2,\,p_3$의 열매인 것의 개수를 $g(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{10}g(n)$의 값을 구하시오.