2019학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$의 내부에 네 점 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$, $\mathrm D_2$를 네 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm A_1\mathrm B_1$, $\mathrm B_2\mathrm B_1\mathrm C_1$, $\mathrm C_2\mathrm C_1\mathrm D_1$, $\mathrm D_2\mathrm D_1\mathrm A_1$이 모두 한 내각의 크기가 $150^\circ$인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 $\mathrm A_1\mathrm A_2\mathrm D_2$, $\mathrm B_1\mathrm B_2\mathrm A_2$, $\mathrm C_1\mathrm C_2\mathrm B_2$, $\mathrm D_1\mathrm D_2\mathrm C_2$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$의 내부에 네 점 $\mathrm A_3$, $\mathrm B_3$, $\mathrm C_3$, $\mathrm D_3$을 네 삼각형 $\mathrm A_3\mathrm A_2\mathrm B_2$, $\mathrm B_3\mathrm B_2\mathrm C_2$, $\mathrm C_3\mathrm C_2\mathrm D_2$, $\mathrm D_3\mathrm D_2\mathrm A_2$가 모두 한 내각의 크기가 $150^\circ$인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 네 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm A_3\mathrm D_3$, $\mathrm B_2\mathrm B_3\mathrm A_3$, $\mathrm C_2\mathrm C_3\mathrm B_3$, $\mathrm D_2\mathrm D_3\mathrm C_3$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]