빨간띠 3기출문제

2024학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 21번

두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수 $f\left(x\right)$ 는

f\left(x\right)=\begin{cases}\,2^{x+a}&\left(x\le0\right)\\[6pt]\,\left(x+b\right)^2&\left(x>0\right)\end{cases}

이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $f\left(x\right)=t$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g\left(t\right)$ 라 할 때, 함수 $g\left(t\right)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

$\displaystyle \lim_{t\to k-}g\left(t\right)\ne\lim_{t\to k+}g\left(t\right)$ 와 $\displaystyle \lim_{t\to2k-}g\left(t\right)\ne\lim_{t\to2k+}g\left(t\right)$ 를 모두 만족시키는 양수 $k$ 가 존재한다.

$\displaystyle \lim_{t\to16-}g\left(t\right)\times\lim_{t\to16+}g\left(t\right)=2$ 가 되도록 하는 두 실수 $a$ , $b$ 의 순서쌍 $\left(a,\,b\right)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최댓값과 최솟값의 곱은? [4점]