내분점의 속도와 한 번 만나는 두 점, 움직인 거리

수직선 위를 움직이는 두 점 $P$, $Q$의 시각 $t$ $(t\ge0)$에서의 속도가 각각

이다. 점 $P$는 시각 $t=0$일 때 원점에서 출발한다. 선분 $PQ$를 $1:2$로 내분하는 점을 $R$라 할 때, 세 점 $P$, $Q$, $R$가 다음 조건을 만족시킨다.

두 점 $P$, $Q$는 출발한 후 오직 한 번 만난다. 그 시각을 $T$라 할 때, 시각 $t=0$에서 $t=T$까지 점 $R$가 움직인 거리를 구하시오.