한 번의 만남과 분점의 이동

수직선 위를 움직이는 두 점 ${\rm P}$, ${\rm Q}$의 시각 $t$ $(t\ge0)$에서의 속도가 각각 $v_{\rm P}(t)=-3t^2+bt$, $v_{\rm Q}(t)=12t+a$이다. (단, $a$, $b$는 상수이다.) 점 ${\rm P}$는 시각 $t=0$일 때 원점에서 출발한다. 선분 ${\rm PQ}$를 $1:2$로 내분하는 점을 ${\rm R}$이라 할 때, 세 점 ${\rm P}$, ${\rm Q}$, ${\rm R}$이 다음 조건을 만족시킨다.

두 점 ${\rm P}$, ${\rm Q}$는 출발한 후 오직 한 번 만난다. 그 시각을 $T$라 할 때, 시각 $t=0$에서 $t=T$까지 점 ${\rm R}$이 움직인 거리를 구하시오.