파란띠 4기출문제

2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 13번

수학도장2026.08.09

그림과 같이 중심이 $O_1$ 이고 반지름의 길이가 $r\;(r>3)$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 $O_2$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C_2$ 에 대하여 $\overline{O_1O_2}=2$ 이다. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $A$ 에 대하여 직선 $AO_2$ 가 $C_1$ 과 만나는 점 중 $A$ 가 아닌 점을 $B$ 라 하자. 원 $C_2$ 위를 움직이는 점 $C$ 에 대하여 직선 $AC$ 가 $C_1$ 과 만나는 점 중 $A$ 가 아닌 점을 $D$ 라 하자.

다음은 $\overline{BD}$ 가 최대가 되도록 네 점 $A,B,C,D$ 를 정할 때, $\overline{O_1C}^{\,2}$ 을 $r$ 에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 $ADB$ 에서 사인법칙에 의하여

\frac{\overline{BD}}{\sin A}=\boxed{\text{(가)}}

이므로 $\overline{BD}$ 가 최대이려면 직선 $AD$ 가 원 $C_2$ 와 점 $C$ 에서 접해야 한다. 이때 직각삼각형 $ACO_2$ 에서 $\sin A=\frac1{\overline{AO_2}}$ 이므로

\overline{BD}=\frac1{\overline{AO_2}}\times\boxed{\text{(가)}}

이다. 그러므로 직선 $AD$ 가 원 $C_2$ 와 점 $C$ 에서 접하고 $\overline{AO_2}$ 가 최소일 때 $\overline{BD}$ 는 최대이다. $\overline{AO_2}$ 의 최솟값은 $\boxed{\text{(나)}}$ 이므로 $\overline{BD}$ 가 최대일 때 $\overline{O_1C}^{\,2}=\boxed{\text{(다)}}$ 이다.