2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $C_1$이라 하자. 원 $C_1$이 변 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$와 접하는 점을 각각 $\mathrm E$, $\mathrm F$라 하고, 점 $\mathrm F$를 중심으로 하고 점 $\mathrm E$를 지나는 원을 $C_2$라 하자. 원 $C_1$의 내부와 원 $C_2$의 외부의 공통부분인 모양의 도형과, 원 $C_1$의 외부와 원 $C_2$의 내부 및 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 두 꼭짓점이 변 $\mathrm{CD}$ 위에 있고 나머지 두 꼭짓점이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 외부에 있으면서 원 $C_2$ 위에 있는 정사각형 $\mathrm{PQRS}$를 그리고, 이 정사각형 안에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]