2010학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 7번

다음은 ‘$a$, $b$가 $1$이 아닌 양의 실수일 때, $\log_ab=\log_ba$이면 $\dfrac{a^2+1}{b^2+1}=\dfrac ab$이다.’ $\cdots\;(\ast)$가 성립함을 증명한 것이다.

[증명]

$\log_ba=\dfrac1{\boxed{\text{(가)}}}$이고 가정에서 $\log_ab=\log_ba$이므로 $\log_ab=1$ 또는 $\log_ab=-1$이다.

(ⅰ) $\log_ab=1$일 때, $\dfrac{a^2+1}{b^2+1}=\boxed{\text{(나)}}$이고 $\dfrac ab=\boxed{\text{(나)}}$이다.

(ⅱ) $\log_ab=-1$일 때, $\dfrac{a^2+1}{b^2+1}=\boxed{\text{(다)}}$이고 $\dfrac ab=\boxed{\text{(다)}}$이다.

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\dfrac{a^2+1}{b^2+1}=\dfrac ab$이므로 $(\ast)$가 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[3점]