2020학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 가형 14번

그림과 같이 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)=2\sqrt x e^{kx^2}$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=\dfrac1{\sqrt{2k}}$, $x=\dfrac1{\sqrt k}$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형인 입체도형의 부피가 $\sqrt3(e^2-e)$일 때, $k$의 값은? [4점]