2018학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 19번

$a=2^{x_1}\times3^{y_1}$, $b=2^{x_2}\times3^{y_2}$, $c=2^{x_3}\times3^{y_3}$, $d=2^{x_4}\times3^{y_4}$이라 하면

(단, $i=1$, $2$, $3$, $4$에 대하여 $x_i$, $y_i$는 음이 아닌 정수)

이다. 이때 $a+b+c+d$가 짝수이므로 $a$, $b$, $c$, $d$가 모두 짝수이거나 $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 $2$개만 짝수이다.

(ⅰ) $a$, $b$, $c$, $d$가 모두 짝수인 경우

$x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$가 모두 자연수이고 $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$는 음이 아닌 정수이므로 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4)$의 개수는

${}_4\mathrm H_{\boxed{\text{(가)}}}\times{}_4\mathrm H_n$ …… ㉠

(ⅱ) $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 $2$개만 짝수인 경우

$x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ 중에서 자연수가 $2$개이고 $0$이 $2$개이므로 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$의 개수는

이다. 이때 $a$, $b$, $c$, $d$ 중 홀수인 두 수는 $1$이 될 수 없으므로 순서쌍 $(y_1,y_2,y_3,y_4)$의 개수는

이다. 따라서 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4)$의 개수는

${}_4\mathrm C_2\times\boxed{\text{(나)}}\times{}_4\mathrm H_{\boxed{\text{(다)}}}$ …… ㉡

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 ㉠+㉡이다.