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그림과 같이 반지름의 길이가 111이고 중심각의 크기가 π2\dfrac\pi22π인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}OAB가 있다. 호 AB\mathrm{AB}AB 위의 점 P\mathrm{P}P에서 선분 OA\mathrm{OA}OA에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}H라 하고, ∠OAP\angle \mathrm{OAP}∠OAP를 이등분하는 직선과 세 선분 HP, OP, OB\mathrm{HP},\,\mathrm{OP},\,\mathrm{OB}HP,OP,OB의 교점을 각각 Q, R, S\mathrm{Q},\,\mathrm{R},\,\mathrm{S}Q,R,S라 하자. ∠APH=θ\angle \mathrm{APH}=\theta∠APH=θ일 때, 삼각형 AQH\mathrm{AQH}AQH의 넓이를 f(θ)f\left(\theta\right)f(θ), 삼각형 PSR\mathrm{PSR}PSR의 넓이를 g(θ)g\left(\theta\right)g(θ)라 하자. limθ→0+θ3×g(θ)f(θ)=k\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\dfrac{\theta^3\times g\left(\theta\right)}{f\left(\theta\right)}=kθ→0+limf(θ)θ3×g(θ)=k일 때, 100k100k100k의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π40<\theta<\dfrac\pi40<θ<4π) [4점]
