밤띠 4수능형

적분의 아이디어와 매개변수

검수 대기

social2026.08.27

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 $f(x)\ne0$ , $f'(x)\ne g'(x)$ 인 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 가 $x\ne0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여

\frac{f(x)g(x)}{f'(x)-g'(x)}=\frac{e^{x^2}-1}{2x},\,\frac{(g(x))^2}{f'(x)-g'(x)}=\int_{0}^{x} \frac{g(t)}{f(t)} \,dt

를 만족시킨다. 두 곡선 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ 와 직선 $x=t$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 할 때

\text{곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $\mathrm{B}$에서의 접선의 교점 $\mathrm{P}$}

가 나타내는 곡선을 $C$ 라 하자. $t=2$ 일 때, 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선의 기울기가 $\frac{1}{8}$ 이다. 함수 $h(x)=f(x)-g(x)$ 에 대하여 $e^{-4} \times{(\frac{h(2) \times h''(2)}{(h'(2))^{2}}+1)}$ 의 값을 구하시오.