다음은 모든 자연수 n 에 대하여 등식 \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom nk}{\binom{n+4}k}=\frac{n+5}{5} 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) n=1 일 때, \text{(좌변)}=\frac{\binom10}{\binom50}+\frac{\binom11}{\binom51}=\frac65 \text{(우변)}=\frac{1+5}{5}=\frac65 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) n=m 일 때, 등식 \displaystyle\sum_{k=0}^{m…

밤띠 1기출문제

2010학년도 대학수학능력시험 수리 영역 공통 12번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{\binom nk}{\binom{n+4}k}=\frac{n+5}{5}$ 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$ 일 때,

\text{(좌변)}=\frac{\binom10}{\binom50}+\frac{\binom11}{\binom51}=\frac65

\text{(우변)}=\frac{1+5}{5}=\frac65

이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) $n=m$ 일 때, 등식 $\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom mk}{\binom{m+4}k}=\frac{m+5}{5}$ 가 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때,

\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\binom{m+1}k}{\binom{m+5}k}=(\text{가})+\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m+1}{k+1}}{\binom{m+5}{k+1}}

이다. 자연수 $\ell$ 에 대하여

\binom{\ell+1}{k+1}=(\text{나})\cdot\binom\ell k\qquad(0\le k\le\ell)

이므로

\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m+1}{k+1}}{\binom{m+5}{k+1}}=(\text{다})\cdot\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom mk}{\binom{m+4}k}

이다. 따라서

\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\binom{m+1}k}{\binom{m+5}k}

=(\text{가})+(\text{다})\cdot\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom mk}{\binom{m+4}k}

=\frac{m+6}{5}

이다. 그러므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

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