2008학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 13번

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$인 정사각형을 $A_1$, 그 넓이를 $S_1$이라 하자. 정사각형 $A_1$에 대각선을 그어 만들어진 $4$개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 $A_2$, 그 넓이를 $S_2$라 하자. 같은 방법으로 정사각형 $A_2$에 대각선을 그어 만들어진 $4$개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 $A_3$, 그 넓이를 $S_3$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $(n-1)$번째 얻은 정사각형을 $A_n$, 그 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]