\triangle\mathrm{ABC} 의 넓이를 S_1 , \triangle\mathrm{ABC} 의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형의 넓이를 S_2 라고 할 때, 다음은 S_1 과 S_2 사이에 일정한 비가 성립함을 증명한 것이다. \triangle\mathrm{ABC} 의 각 변의 중점을 \mathrm P , \mathrm Q , \mathrm R 로 놓고 그림과 같이 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{BT}} 가 되도록 점 \mathrm T 를 잡는…

밤띠 2기출문제

2006학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 15번

$\triangle\mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $S_1$ , $\triangle\mathrm{ABC}$ 의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형의 넓이를 $S_2$ 라고 할 때, 다음은 $S_1$ 과 $S_2$ 사이에 일정한 비가 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

$\triangle\mathrm{ABC}$ 의 각 변의 중점을 $\mathrm P$ , $\mathrm Q$ , $\mathrm R$ 로 놓고 그림과 같이 $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{BT}}$ 가 되도록 점 $\mathrm T$ 를 잡는다.

점 $\mathrm Q$ 는 평행사변형 $\mathrm{PBTC}$ 의 대각선 $\mathrm{BC}$ 의 중점이므로

\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QT}}\qquad\cdots\text{\char"3260}

또 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 이므로

\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}\qquad\cdots\text{\char"3261}

㉠, ㉡에서 $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\overrightarrow{\mathrm{QT}}$ 이다.

\therefore \boxed{\text{(\char"AC00)}}

따라서 삼각형 $\mathrm{RBT}$ 는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 세 중선의 길이를 각 변의 길이로 하는 삼각형이다.

한편, 두 선분 $\mathrm{BC}$ 와 $\mathrm{RT}$ 의 교점을 $\mathrm M$ 이라 하면, $\overline{\mathrm{AQ}}\parallel\overline{\mathrm{RT}}$ 이고 점 $\mathrm R$ 는 선분 $\mathrm{AC}$ 의 중점이므로 점 $\mathrm M$ 은 선분 $\mathrm{CQ}$ 의 중점이다.