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그림과 같이 길이가 2인 선분 AB\mathrm{AB}AB를 지름으로 하고 중심이 O\mathrm OO인 반원 위의 점 P\mathrm PP에서 선분 AB\mathrm{AB}AB에 내린 수선의 발을 Q\mathrm QQ라 하자. ∠PAB=θ\angle\mathrm{PAB}=\theta∠PAB=θ라 할 때, 선분 AP\mathrm{AP}AP와 호 AP\mathrm{AP}AP에 동시에 접하는 가장 큰 원의 넓이를 S(θ)S(\theta)S(θ), 삼각형 POQ\mathrm{POQ}POQ의 내접원의 넓이를 T(θ)T(\theta)T(θ)라 하자.
limθ→0+θ2×T(θ)S(π2−θ)\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\dfrac{\theta^2\times T(\theta)}{S\left(\dfrac\pi2-\theta\right)}θ→0+limS(2π−θ)θ2×T(θ)의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π40<\theta<\dfrac\pi40<θ<4π) [4점]
