2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 28번

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}\left(c,\,0\right)$, $\mathrm{F}'\left(-c,\,0\right)\;\left(c>0\right)$이고, 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$과 점 $\mathrm{A}\left(0,\,5\right)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있다. 제$1$사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PF'}}$의 최솟값이 $12$일 때, $a^2+3b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 상수이다.) [4점]