2012학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 13번

한 변의 길이가 $p$인 정사각형과 세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$인 직각삼각형이 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 $c$이고 $c=a+2$를 만족한다. 다음은 ‘두 도형의 넓이가 같으면 $a$, $b$, $p$ 중 적어도 하나는 정수가 아니다.’라는 것을 증명하는 과정이다.

[증명]

두 도형의 넓이가 같으므로 $ab=\boxed{\text{(가)}}$이다.

$a^2+b^2=c^2$이므로 $b^2=\boxed{\text{(나)}}$이고

$8p^2=\boxed{\text{(다)}}$이다.

여기서 $a$, $b$, $p$를 모두 정수라 하면,

$b^2=\boxed{\text{(나)}}$에서 $b$는 짝수이므로 $b=2b^{\prime}\,(b^{\prime}\text{은 자연수})$라 할 때,

$$p^2=\frac{2b^{\prime}}2\times\frac{2b^{\prime}+2}2\times\frac{2b^{\prime}-2}2=b^{\prime}(b^{\prime}+1)(b^{\prime}-1)$$

이 된다.

우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다.

따라서 모순이다. 그러므로 $a$, $b$, $p$ 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 $f(p)$, $g(a)$, $h(b)$라 할 때, $f(1)+g(2)+h(3)$의 값은? [4점]