로그·사인 부등식을 만족하는 정수가 8개

$1$보다 큰 실수 $k$에 대하여 부등식

을 만족시키는 정수 $n$의 개수가 $8$개가 되도록 하는 모든 $k$의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 원소의 개수를 $m$, 모든 원소의 합을 $S$이라 할 때, $\dfrac{S+3}{m}=\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)