다음은 모든 자연수 n에 대하여
34+328+3312+⋯+3n4n=3−3n2n+3⋯⋯(∗) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
(1) n=1일 때, (좌변)=34, (우변)=3−35=34이므로 (∗)이 성립한다.
(2) n=k일 때, (∗)이 성립한다고 가정하면
34+328+3312+⋯+3k4k=3−3k2k+3 이다.
위 등식의 양변에 3k+14(k+1)을 더하여 정리하면
34+328+3312+⋯+3k4k+3k+14(k+1) =3−3k1{(2k+3)−((가 ))} =3−3k+1(나 ) 따라서 n=k+1일 때도 (∗)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (∗)이 성립한다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(k), g(k)라 할 때, f(3)×g(2)의 값은? [4점]
