2023학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 29번

그림과 같이 두 초점이 $F(c,0)$, $F'(-c,0)$($c>0$)인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{27}=1$ 위의 점 $P\left(\dfrac92,k\right)$($k>0$)에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라 하자. 두 점 $F$, $F'$을 초점으로 하고 점 $Q$를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 $PF'$과 만나는 두 점을 $R$, $S$라 하자. $\overline{RS}+\overline{SF}=\overline{RF}+8$일 때, $4\times(a^2+k^2)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 양수이고, 점 $R$의 $x$좌표는 점 $S$의 $x$좌표보다 크다.) [4점]