지수·로그 곡선과 원으로 정해지는 사각형

$1$보다 큰 실수 $a$에 대하여 곡선 $y=\dfrac{2^{\tfrac{2}{3}}}{3}a^{x-4}+3$과 원 $(x-4)^2+(y-3)^2=\dfrac{5}{9}$의 서로 다른 두 교점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 원의 중심을 $\mathrm{D}$라 하자. 곡선 $y=\log_a(6-3x)+\dfrac{1}{3}$ 위의 점 $\mathrm{C}$가 있다. 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 다음 조건을 만족시킨다.

사각형 $\mathrm{ABDC}$의 넓이를 $S$라 할 때, $36S$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 작다.)