2007학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 16번

$x^4+x^3+x^2+x+1=y^2$ ($y$는 자연수)라 하자.

$(\boxed{\text{(\char"AC00 )}})^2+(3x^2+4x+4)=(2y)^2$ …… ㉠

$(2x^2+x+1)^2-(x-3)(x+1)=(2y)^2$ …… ㉡

$(x-3)(x+1)>0$이면

㉡에서 $2x^2+x+1>2y$이고

㉠에서 $\boxed{\text{(\char"AC00 )}}<2y$이므로

만족하는 자연수 $y$는 존재하지 않는다.

따라서 $(x-3)(x+1)\le0$이므로 $-1\le x\le3$이다.

그러므로 $x^4+x^3+x^2+x+1$을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 $x$의 개수는 $\boxed{\text{(\char"B098 )}}$개이다.