2023학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 28번

그림과 같이 $\overline{AB_1}=2$, $\overline{B_1C_1}=\sqrt3$, $\overline{C_1D_1}=1$이고 $\angle C_1B_1A=\dfrac\pi2$인 사다리꼴 $AB_1C_1D_1$이 있다. 세 점 $A$, $B_1$, $D_1$을 지나는 원이 선분 $B_1C_1$과 만나는 점 중 $B_1$이 아닌 점을 $E_1$이라 할 때, 두 선분 $C_1D_1$, $C_1E_1$과 호 $E_1D_1$로 둘러싸인 부분과 선분 $B_1E_1$과 호 $B_1E_1$로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $AB_1$ 위의 점 $B_2$, 호 $E_1D_1$ 위의 점 $C_2$, 선분 $AD_1$ 위의 점 $D_2$와 점 $A$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{B_2C_2}:\overline{C_2D_2}=\sqrt3:1$이고 $\angle C_2B_2A=\dfrac\pi2$인 사다리꼴 $AB_2C_2D_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 점 $E_2$를 잡고, 사다리꼴 $AB_2C_2D_2$에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]