2009학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 30번

[그림 1]과 같이 한 개의 넓이가 $1$인 정사각형 $5$개로 이루어진 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 $S_1$이라 하자.

[그림 2]와 같이 [그림 1]의 모양의 도형에 한 개의 넓이가 $1$인 정사각형 $4$개를 붙여 만든 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 $S_2$라 하자.

[그림 3]과 같이 [그림 2]의 모양의 도형에 한 개의 넓이가 $1$인 정사각형 $4$개를 붙여 만든 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻어진 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{10S_n}{n^2}$의 값을 구하시오. [4점]