2023학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 17번

그림과 같이 이차함수 $y=ax^2$($a>0$)의 그래프와 직선 $y=x+6$이 만나는 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자. 점 $\mathrm B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$, 점 $\mathrm A$에서 선분 $\mathrm{BH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm C$라 하자. $\overline{\mathrm{BC}}=\frac72$일 때, $\alpha^2+\beta^2$의 값은? (단, $\alpha<\beta$) [4점]