파란띠 1기출문제

2021학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 나형 18번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\sum_{k=1}^{n}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}\le\frac{(2n)!}{2^n}\qquad(*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) $n=1$ 일 때, (좌변) $=\frac{{}_2\mathrm P_1}{2^1}=1$ 이고, (우변) $=\boxed{\text{(가)}}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(ⅱ) $n=m$ 일 때 $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

\sum_{k=1}^{m}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}\le\frac{(2m)!}{2^m}

이다. $n=m+1$ 일 때,

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}&=\sum_{k=1}^{m}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}+\frac{{}_{2m+2}\mathrm P_{m+1}}{2^{m+1}}\\&=\sum_{k=1}^{m}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}+\frac{\boxed{\text{(나)}}}{2^{m+1}(m+1)!}\\&\le\frac{(2m)!}{2^m}+\frac{\boxed{\text{(나)}}}{2^{m+1}(m+1)!}\\&=\frac{\boxed{\text{(나)}}}{2^{m+1}}\left\{\frac1{\boxed{\text{(다)}}}+\frac1{(m+1)!}\right\}\\&<\frac{(2m+2)!}{2^{m+1}}\end{aligned}

이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^{n}\frac{{}_{2k}\mathrm P_k}{2^k}\le\frac{(2n)!}{2^n}

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m),g(m)$ 이라 할 때, $p+\frac{f(2)}{g(4)}$ 의 값은? [4점]

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