2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 반지름의 길이가 $2$인 원 $O_1$에 내접하는 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$이 있다. 점 $\mathrm A_1$에서 선분 $\mathrm{B_1C_1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm D_1$이라 하고, 선분 $\mathrm{A_1C_1}$을 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm E_1$이라 하자. 점 $\mathrm A_1$을 포함하지 않는 호 $\mathrm{B_1C_1}$과 선분 $\mathrm{B_1C_1}$로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 $\mathrm{A_1D_1E_1}$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 삼각형 $\mathrm{A_1B_1D_1}$에 내접하는 원 $O_2$와 원 $O_2$에 내접하는 정삼각형 $\mathrm{A_2B_2C_2}$를 그리고, 점 $\mathrm A_2$에서 선분 $\mathrm{B_2C_2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm D_2$, 선분 $\mathrm{A_2C_2}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm E_2$라 하자. 점 $\mathrm A_2$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{B_2C_2}$와 선분 $\mathrm{B_2C_2}$로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 $\mathrm{A_2D_2E_2}$의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]