2024학년도 5월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 21번

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $6$이고 중심각의 크기가 $\dfrac\pi2$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{C}$를 $\overline{\mathrm{AC}}=4\sqrt2$가 되도록 잡는다. 호 $\mathrm{AC}$ 위의 한 점 $\mathrm{D}$에 대하여 점 $\mathrm{D}$를 지나고 선분 $\mathrm{OA}$에 평행한 직선과 점 $\mathrm{C}$를 지나고 선분 $\mathrm{AC}$에 수직인 직선이 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{CED}$의 외접원의 반지름의 길이가 $3\sqrt2$일 때, $\overline{\mathrm{AD}}=p+q\sqrt7$을 만족시키는 두 유리수 $p$, $q$에 대하여 $9\times|p\times q|$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{A}$도 아니고 점 $\mathrm{C}$도 아니다.) [4점]