2023학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 21번

그림과 같이 곡선 $y=2^{x-m}+n\left(m>0,\,n>0\right)$과 직선 $y=3x$가 서로 다른 두 점 $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$에서 만날 때, 점 $\mathrm{B}$를 지나며 직선 $y=3x$에 수직인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 직선 $\mathrm{CA}$가 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{CA}$를 $5:3$으로 외분하는 점이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $20$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 작다.) [4점]