2021학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 26번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{OA}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$의 대각선 $\mathrm{OB}_1$을 $3:1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}_1$이라 하고, 네 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1,\,\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1,\,\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1,\,\mathrm{D}_1\mathrm{A}_1$로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 중심이 $\mathrm{O}$이고 두 직선 $\mathrm{A}_1\mathrm{D}_1,\,\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$에 동시에 접하는 원과 선분 $\mathrm{OB}_1$이 만나는 점을 $\mathrm{B}_2$라 하자. 선분 $\mathrm{OB}_2$를 대각선으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$를 그리고 정사각형 $\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]