2023학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 21번

그림과 같이 $1$보다 큰 두 실수 $a,\,k$에 대하여 직선 $y=k$가 두 곡선 $y=2\log_a x+k,\,y=a^{x-k}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$라 하고, 직선 $x=k$가 두 곡선 $y=2\log_a x+k,\,y=a^{x-k}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C},\,\mathrm{D}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{CD}}=85$이고 삼각형 $\mathrm{CAD}$의 넓이가 $35$일 때, $a+k$의 값을 구하시오. [4점]