2023학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 21번

그림과 같이 $1$보다 큰 두 실수 $a,k$에 대하여 직선 $y=k$가 두 곡선 $y=2\log_a x+k,\ y=a^{x-k}$과 만나는 점을 각각 $A,B$라 하고, 직선 $x=k$가 두 곡선과 만나는 점을 각각 $C,D$라 하자.

$\overline{AB}\times\overline{CD}=85$이고 삼각형 $CAD$의 넓이가 $35$일 때, $a+k$의 값을 구하시오. [4점]