2018학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$이 있다. 세 변 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{B_1C_1}$, $\mathrm{D_1A_1}$의 중점을 각각 $\mathrm{E}_1$, $\mathrm{F}_1$, $\mathrm{G}_1$이라 하자. 선분 $\mathrm{G_1F_1}$을 지름으로 하고 선분 $\mathrm{D_1C_1}$에 접하는 반원의 호 $\mathrm{G_1F_1}$과 두 선분 $\mathrm{G_1E_1}$, $\mathrm{E_1F_1}$로 둘러싸인 모양의 도형의 외부와 정사각형 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{G_1E_1}$ 위의 점 $\mathrm{A}_2$, 선분 $\mathrm{E_1F_1}$ 위의 점 $\mathrm{B}_2$와 호 $\mathrm{G_1F_1}$ 위의 두 점 $\mathrm{C}_2$, $\mathrm{D}_2$를 꼭짓점으로 하고 선분 $\mathrm{A_2B_2}$가 선분 $\mathrm{A_1B_1}$과 평행한 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$를 그린다. 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 그린 모양의 도형의 외부와 정사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]