2008학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 24번

한 변의 길이가 $6$인 정사면체 $OABC$가 있다. 세 삼각형 $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$에 각각 내접하는 세 원의 평면 $ABC$ 위로의 정사영을 각각 $S_1$, $S_2$, $S_3$이라 하자. 그림과 같이 세 도형 $S_1$, $S_2$, $S_3$으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 $S$라 할 때, $(S+\pi)^2$의 값을 구하시오. [4점]