밤띠 4경시형

양의 실근의 개수와 상수의 범위

PATHWAY2026.08.15

다음은 양의 실근의 개수에 관한 성질이다.

$2$ 이상의 자연수 $m$ , $0$ 이 아닌 실수 $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_m$ 과 $b_1>b_2>\cdots>b_m\ge0$ 을 만족시키는 실수 $b_1,\,b_2,\,\ldots,\,b_m$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

f\left(x\right)=a_1x^{b_1}+a_2x^{b_2}+\cdots+a_mx^{b_m}

가 있다. 방정식 $f\left(x\right)=0$ 이 갖는 서로 다른 양의 실근의 개수는 많아야 $m-1$ 개이다.

실수 $k$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

g\left(x\right)=x^{12}-12x^8+36x^4-k

가 있다. $k$ 의 값에 따라 방정식 $g\left(x\right)=0$ 이 가질 수 있는 서로 다른 양의 실근의 개수의 최댓값을 $N$ 이라 하자. 방정식 $g\left(x\right)=0$ 이 서로 다른 $N$ 개의 양의 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오.