2010학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 9번

한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 $4$개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이 때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 $3$개의 정삼각형이 남는다. 남은 $3$개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 $9$개의 정삼각형이 남고, 다시 $9$개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 $27$개의 정삼각형이 남는다. 그림은 이와 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다.

두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때, $n$번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 $a_n$이라 하자. 예를 들어 $a_1=6$, $a_2=15$이다. $a_5$의 값은?

[4점]