다음은 확률변수 X 가 이항분포 \mathrm B(n,p) 를 따를 때, X 의 평균이 \mathrm E(X)=np 임을 증명하는 과정이다. (단, n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1 ) 확률 \mathrm P(X=k)={}_n\mathrm C_k p^kq^{n-k} (단, q=1-p , k=0,1,2,\cdots,n )이므로 \mathrm E(X)=\sum_{k=0}^{n}\boxed{\text{(가)}} =\sum_{k=1}^{n}\boxed{\text{(가)}} 여기…

초록띠 1기출문제

2004학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 8번

다음은 확률변수 $X$ 가 이항분포 $\mathrm B(n,p)$ 를 따를 때, $X$ 의 평균이 $\mathrm E(X)=np$ 임을 증명하는 과정이다.

(단, $n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1$ )

<증명>

확률 $\mathrm P(X=k)={}_n\mathrm C_k p^kq^{n-k}$

(단, $q=1-p$ , $k=0,1,2,\cdots,n$ )이므로

\mathrm E(X)=\sum_{k=0}^{n}\boxed{\text{(가)}}

=\sum_{k=1}^{n}\boxed{\text{(가)}}

여기서,

k\,{}_n\mathrm C_k=k\times\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

=n\times\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}

=n\boxed{\text{(나)}}

이므로,

\mathrm E(X)=\sum_{k=1}^{n}n\,{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}p^kq^{n-k}

=np\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}

=np\left(\boxed{\text{(다)}}\right)^{n-1}

=np

따라서 확률변수 $X$ 가 이항분포 $\mathrm B(n,p)$ 를 따를 때, $X$ 의 평균은 $\mathrm E(X)=np$ 이다.

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 들어가기에 알맞은 것은? [3점]

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