2010학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 12번

그림과 같이 길이가 6인 선분 $AB$를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 $AB$의 3등분점을 각각 $P_1$, $P_2$라 하고 선분 $AP_1$을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 $AP_2$를 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 $P_2B$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선분 $P_1B$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든 모양의 도형에 채색하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $AB$ 위의 채색되지 않은 두 선분 $AP_1$, $P_2B$를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 채색하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 두 선분 $AP_1$, $P_2B$ 위의 채색되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형에 채색하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 채색되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]