다음은 모든 자연수 n에 대하여
k=1∑nk{k+(k+1)+(k+2)+⋯+n}=24n(n+1)(n+2)(3n+1)⋯⋯(∗) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.
(ⅰ) n=1일 때,
(좌변) = (우변) =(가)이므로 (∗)이 성립한다.
(ⅱ) n=m일 때, (∗)이 성립한다고 가정하면
k=1∑mk{k+(k+1)+(k+2)+⋯+m}=24m(m+1)(m+2)(3m+1) 이다. n=m+1일 때, (∗)이 성립함을 보이자.
k=1∑m+1k{k+(k+1)+(k+2)+⋯+(m+1)}=k=1∑mk{k+(k+1)+(k+2)+⋯+(m+1)}+(나)=(다)+2m(m+1)2+(나)=24(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4) 따라서 n=m+1일 때도 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (∗)이 성립한다.
위의 (가)에 알맞은 수를 a, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m), g(m)이라 할 때, a+f(2)+g(3)의 값은? [4점]
