12. 첫째항이 인 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 다음은 모든 자연수 에 대하여 이 성립할 때, 의 값을 구하는 과정이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값은? [4점]

2022년 7월 고3 학력평가 공통 12번

Q2022년 7월 고3 학력평가 공통 12번

실버 II

12. 첫째항이 $2$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^{n}\frac{3S_k}{k+2}=S_n

이 성립할 때, $a_{10}$ 의 값을 구하는 과정이다.

a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{3S_n}{n+2}\quad(n\ge2)

3S_n=(n+2)a_n\quad(n\ge1)

3a_n=(n+2)a_n-\boxed{\,\text{(가)}\,}a_{n-1}

\frac{a_n}{a_{n-1}}=\boxed{\,\text{(나)}\,}

a_{10}=\boxed{\,\text{(다)}\,}

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n),g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $\frac{f(p)}{g(p)}$ 의 값은? [4점]

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