초록띠 3기출문제

2022학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 12번

첫째항이 $2$ 인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^{n}\frac{3S_k}{k+2}=S_n

이 성립할 때, $a_{10}$ 의 값을 구하는 과정이다.

$n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여

\begin{aligned}a_n&=S_n-S_{n-1}\\&=\sum_{k=1}^{n}\frac{3S_k}{k+2}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{3S_k}{k+2}=\frac{3S_n}{n+2}\end{aligned}

이므로 $3S_n=(n+2)\times a_n\quad(n\ge2)$ 이다.

$S_1=a_1$ 에서 $3S_1=3a_1$ 이므로

3S_n=(n+2)\times a_n\quad(n\ge1)

이다.

\begin{aligned}3a_n&=3(S_n-S_{n-1})\\&=(n+2)\times a_n-\boxed{\text{(가)}}\times a_{n-1}\quad(n\ge2)\end{aligned}

\frac{a_n}{a_{n-1}}=\boxed{\text{(나)}}\quad(n\ge2)

따라서

\begin{aligned}a_{10}&=a_1\times\frac{a_2}{a_1}\times\frac{a_3}{a_2}\times\frac{a_4}{a_3}\times\cdots\times\frac{a_9}{a_8}\times\frac{a_{10}}{a_9}\\&=\boxed{\text{(다)}}\end{aligned}

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n),\ g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $\frac{f(p)}{g(p)}$ 의 값은? [4점]

정답률 50%풀이 수 2정답 시 +8 Rating

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