피타고라스 정리와 삼각형의 닮음 조건

그림과 같이 $\angle B A_0 A_1 = 90^\circ$이고 $\overline{BA_0}=1$인 직각삼각형 $B A_0 A_1$이 있다. 점 $A_0$에서 출발하는 반직선 $A_0 A_1$ 위에 $\overline{A_{i-1}A_i} = 1 , (i=1, 2, 3, \dots)$이 되도록 점 $A_1, A_2, A_3, \dots$을 차례로 잡는다. 세 자연수 $k, m, n$$(k<m<n)$에 대하여 두 삼각형 $△A_k​A_m​B$와 $△A_k​BA_n​$이 서로 닮음일 때, 순서쌍 $(k,m,n)$을 닮음쌍이라 하자. $k=7$일 때, 닮음쌍 $(7, m, n)$을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]