다음은 모든 자연수 n 에 대하여 부등식 1+\frac12+\cdots+\frac1n\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right\} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다. (ⅰ) n=1 일 때, \text{(좌변)}=1\ge2\times\dfrac1{1\cdot2}=\text{(우변)} 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (ⅱ) n=k\;(k\ge1) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 1+\frac12+\cdots+\frac1k\g…

초록띠 5기출문제

2005학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 15번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

1+\frac12+\cdots+\frac1n\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right\}

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

<증명>

(ⅰ) $n=1$ 일 때, $\text{(좌변)}=1\ge2\times\dfrac1{1\cdot2}=\text{(우변)}$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다.

(ⅱ) $n=k\;(k\ge1)$ 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

1+\frac12+\cdots+\frac1k\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{k(k+1)}\right\}

이 식의 양변에 $\dfrac1{k+1}$ 을 더하면

1+\frac12+\cdots+\frac1k+\frac1{k+1}

\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{k(k+1)}\right\}+\frac1{k+1}

\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{k(k+1)}\right\}+\frac1{k+2}

=2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{k(k+1)}\right\}+\frac1{k+1}\cdot\boxed{\text{(가)}}

\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{k(k+1)}\right\}+\frac{\boxed{\text{(나)}}}{(k+1)(k+2)}

=2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{(k+1)(k+2)}\right\}

\therefore1+\frac12+\cdots+\frac1{k+1}

\ge2\left\{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{(k+1)(k+2)}\right\}

따라서 $n=k+1$ 일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]

(가)　(나)

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