2013학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 10번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 반원 $O_1$을 그리고, 반원 $O_1$ 위에 $\angle\mathrm C_1\mathrm A_1\mathrm B_1=30^\circ$가 되도록 점 $\mathrm C_1$을 정한다. 이때 삼각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 넓이를 $S_1$이라 하자.

선분 $\mathrm A_1\mathrm C_1$의 중점을 $\mathrm A_2$라 하고, 호 $\mathrm A_1\mathrm B_2$와 호 $\mathrm C_1\mathrm B_2$의 길이가 같도록 점 $\mathrm B_2$를 정한다. 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 지름으로 하는 반원 $O_2$를 그리고, 반원 $O_2$ 위에 $\angle\mathrm C_2\mathrm A_2\mathrm B_2=30^\circ$가 되도록 점 $\mathrm C_2$를 정한다. 이때 삼각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2$의 넓이를 $S_2$라 하자.

선분 $\mathrm A_2\mathrm C_2$의 중점을 $\mathrm A_3$이라 하고, 호 $\mathrm A_2\mathrm B_3$과 호 $\mathrm C_2\mathrm B_3$의 길이가 같도록 점 $\mathrm B_3$을 정한다. 선분 $\mathrm A_3\mathrm B_3$을 지름으로 하는 반원 $O_3$을 그리고, 반원 $O_3$ 위에 $\angle\mathrm C_3\mathrm A_3\mathrm B_3=30^\circ$가 되도록 점 $\mathrm C_3$을 정한다. 이때 삼각형 $\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3$의 넓이를 $S_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 $\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [3점]