2017학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 29번

한 모서리의 길이가 $4$인 정사면체 $\mathrm{ABCD}$에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm O$, 선분 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm P$라 하자. 정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 한 면 $\mathrm{BCD}$ 위의 점 $\mathrm Q$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$가 서로 수직일 때, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$의 최댓값은 $\frac qp$이다.

$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]